Quais são algumas aplicações da álgebra abstrata na vida real?

Códigos

Códigos de correção de erros são usados em quase todas as formas de armazenamento e comunicação digital, desde DVD players até comunicação via satélite. A teoria e prática de construir bons códigos de correção de erros dependem fortemente das noções abstratas de campos finitos e espaços vetoriais (veja por exemplo Huffman[1]), e mais recentemente de conceitos algébricos ainda mais profundos e abstratos como campos de funções e curvas algébricas (Stichtenoth[2]).

Expander Graphs
>br>Expander Graphs pode ser usado para projetar redes de comunicação esparsas com características de conectividade muito fortes. "Esparsa" significa que cada nó da rede está conectado a apenas alguns outros nós; "forte conectividade" significa que para cortar a conexão entre duas partes substanciais da rede você'teria que cortar muitas conexões individuais. Gráficos expansores são úteis também em uma variedade de algoritmos onde se precisa simular "aleatoriedade" de uma forma determinística.

Construir bons gráficos expansores é difícil. As construções mais conhecidas baseiam-se em resultados muito profundos na teoria da representação, veja por exemplo Lubotzky[3].

3D Modelagem e Animação
>br>Representar rotação no espaço 3D, particularmente quando se quer interpolar entre dois estados de rotação como em animação 3D, é normalmente feito usando o conceito algébrico de quaterniões [4]. It's diverte encontrar capítulos sobre "quaternions" nos manuais do usuário de softwares como Maya e 3d studio.

Block Designs
>br>br>Em certo sentido esta é uma generalização do exemplo dos "Códigos". Os desenhos de blocos são sistemas de conjuntos finitos muito simétricos; um bom exemplo concreto a ter em mente é o seguinte pequeno desafio: encontrar um conjunto de 7 trigêmeos de números no intervalo 1..7 de tal forma que cada par de números neste intervalo pertença precisamente a um trigêmeo (procure o Fano Planeta).

Tantos desenhos simétricos são úteis em uma variedade de contextos da vida real, como o desenho de experimentos (it'é uma boa maneira de escolher conjuntos de amostras sem preconceitos) e - diz a Wikipédia[5] - testes de software, embora I'não esteja realmente familiarizado com a forma como eles'são usados para isso.

Após novamente, a construção de projetos de blocos depende fortemente de ferramentas de álgebra abstrata, especificamente campos finitos (especialmente geometrias projetivas e afins baseadas em campos finitos) e grupos finitos.

[1] Huffman e Pless: Fundamentos dos Códigos de Correção de Erros.

[2] Stichtenoth: Campos de Função Algébrica e Códigos.

[3] Lubotzky: Grupos Discretos, Gráficos em Expansão e Medidas Invariantes.

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion_rotation

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/BIBD