Qual altura he raio de base r maximizarão o volume do cilindro se o contêiner no formato de um cilindro circular direito, sem topo, tiver área de superfície $3pi ft ^ 2$ ?

O volume máximo ocorre quando $r=1 " ft"$ e $h=1 " ft"$ .

Configuração (encontre a função para otimizar)
Para um cilindro, o volume é $V= pi r^2 h$

E para um cilindro sem topo, a área da superfície é $A= pi r^2 + 2 pi rh$

Dada a área é $3 pi$ , podemos expressar o volume usando uma variável em vez de duas.
$A= pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi$ .

Resolvendo para $h$ parece mais fácil do que resolver $r$ , então vamos tentar dessa maneira
(Agora, ele funcionará porque faço isso há anos. Mas um aluno não tem certeza.)

$pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi$ .
leva a $h=(3 pi - pi r^2)/(2 pi r)=(3-r^2)/(2r)$ (domínio: $r>0$ )

Substituindo na fórmula por volume, obtemos:

$V= pi r^2 ((3-r^2)/(2r))= pi/2(3r-r^3)$ (domínio: $r>0$ )

Esta é a função que nos pediram para maximizar.

Otimizando a função

$V'= pi/2(3-3r^2)= (3 pi)/2(1-r^2)$

$V'=0$ at $r=+-1$ . nós notamos que $-1$ não está no domínio, então o único ponto crítico é $r=1$

$V''(r)=-3 pi r$ , assim $V''(1) < 0$ e o segundo teste de derivada nos diz que V (1) é um máximo local. O fato de haver apenas um ponto crítico nos permite alterar a palavra "local" para "global".

Respondendo a pergunta

Agora, relemos a pergunta para decidir como respondê-la. Nos pediram $r$ e $h$ para obter o volume máximo.
Quando $r=1$ usamos a substituição acima para ver que $h=(3-(1)^2)/(2(1))=2/2=1$

Responda:
O volume máximo ocorre quando $r=1 " ft"$ e $h=1 " ft"$ .

Qual altura he raio de base r maximizarão o volume do cilindro se o contêiner no formato de um cilindro circular direito, sem topo, tiver área de superfície 3pi ft ^ 2 3pi ft ^ 2 ?

Qual altura he raio de base r maximizarão o volume do cilindro se o contêiner no formato de um cilindro circular direito, sem topo, tiver área de superfície $3pi ft ^ 2$ ?