Qual altura he raio de base r maximizarão o volume do cilindro se o contêiner no formato de um cilindro circular direito, sem topo, tiver área de superfície 3pi ft ^ 2 3πft2?
O volume máximo ocorre quando r=1 " ft"r=1 ft e h=1 " ft"h=1 ft.
Configuração (encontre a função para otimizar)
Para um cilindro, o volume é V= pi r^2 hV=πr2h
E para um cilindro sem topo, a área da superfície é A= pi r^2 + 2 pi rhA=πr2+2πrh
Dada a área é 3 pi3π, podemos expressar o volume usando uma variável em vez de duas.
A= pi r^2 + 2 pi rh = 3 piA=πr2+2πrh=3π.
Resolvendo para hh parece mais fácil do que resolver rr, então vamos tentar dessa maneira
(Agora, ele funcionará porque faço isso há anos. Mas um aluno não tem certeza.)
pi r^2 + 2 pi rh = 3 piπr2+2πrh=3π.
leva a h=(3 pi - pi r^2)/(2 pi r)=(3-r^2)/(2r)h=3π−πr22πr=3−r22r (domínio: r>0r>0)
Substituindo na fórmula por volume, obtemos:
V= pi r^2 ((3-r^2)/(2r))= pi/2(3r-r^3)V=πr2(3−r22r)=π2(3r−r3) (domínio: r>0r>0)
Esta é a função que nos pediram para maximizar.
Otimizando a função
V'= pi/2(3-3r^2)= (3 pi)/2(1-r^2)
V'=0 at r=+-1. nós notamos que -1 não está no domínio, então o único ponto crítico é r=1
V''(r)=-3 pi r, assim V''(1) < 0 e o segundo teste de derivada nos diz que V (1) é um máximo local. O fato de haver apenas um ponto crítico nos permite alterar a palavra "local" para "global".
Respondendo a pergunta
Agora, relemos a pergunta para decidir como respondê-la. Nos pediram r e h para obter o volume máximo.
Quando r=1 usamos a substituição acima para ver que h=(3-(1)^2)/(2(1))=2/2=1
Responda:
O volume máximo ocorre quando r=1 " ft" e h=1 " ft".