Qual altura he raio de base r maximizarão o volume do cilindro se o contêiner no formato de um cilindro circular direito, sem topo, tiver área de superfície #3pi ft ^ 2 #?

O volume máximo ocorre quando #r=1 " ft"# e #h=1 " ft"#.

Configuração (encontre a função para otimizar)
Para um cilindro, o volume é #V= pi r^2 h#

E para um cilindro sem topo, a área da superfície é #A= pi r^2 + 2 pi rh#

Dada a área é #3 pi#, podemos expressar o volume usando uma variável em vez de duas.
#A= pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.

Resolvendo para #h# parece mais fácil do que resolver #r#, então vamos tentar dessa maneira
(Agora, ele funcionará porque faço isso há anos. Mas um aluno não tem certeza.)

#pi r^2 + 2 pi rh = 3 pi#.
leva a #h=(3 pi - pi r^2)/(2 pi r)=(3-r^2)/(2r)# (domínio: #r>0#)

Substituindo na fórmula por volume, obtemos:

#V= pi r^2 ((3-r^2)/(2r))= pi/2(3r-r^3)# (domínio: #r>0#)

Esta é a função que nos pediram para maximizar.

Otimizando a função

#V'= pi/2(3-3r^2)= (3 pi)/2(1-r^2)#

#V'=0# at #r=+-1#. nós notamos que #-1# não está no domínio, então o único ponto crítico é #r=1#

#V''(r)=-3 pi r#, assim #V''(1) < 0# e o segundo teste de derivada nos diz que V (1) é um máximo local. O fato de haver apenas um ponto crítico nos permite alterar a palavra "local" para "global".

Respondendo a pergunta

Agora, relemos a pergunta para decidir como respondê-la. Nos pediram #r# e #h# para obter o volume máximo.
Quando #r=1# usamos a substituição acima para ver que #h=(3-(1)^2)/(2(1))=2/2=1#

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O volume máximo ocorre quando #r=1 " ft"# e #h=1 " ft"#.