Qual é a antiderivada do logaritmo natural de x?
Responda:
# int lnx dx =xlnx-x +c#
Explicação:
Esta resposta assume que você sabe como integrar por partes.
Começamos reescrevendo # int lnx dx# as #int 1xxlnx dx#.
Agora, este é um produto para que possamos integrá-lo por peças usando a fórmula: #int v'u=uv-int u'v#
Sabemos diferenciar #lnx#, então definimos #u=lnx# e #v'=1#
Integração #v'# para obter #v# dá-nos #v=x#.
Diferenciando #u# para obter #u'# nos dê #u'=1/x#.
Agora podemos substituir isso na fórmula: #int lnx dx=xlnx-int x1/x dx#
Isso simplifica a #int lnx dx=xlnx-int 1 dx#
A integral de #1# is #x#, assim #int lnx dx=xlnx-x + c#