Qual é a derivada de #f (x) = cos ^ -1 (x) #?

Em geral,

#d/dxcos^-1x=-1/sqrt(1-x^2)#

Veja como obtemos esse derivado comum:

#y=cos^-1x -> x=cosy# da definição de uma função inversa.

Diferencie os dois lados da #x=cosy.#

Isso implicará o uso de Diferenciação implícita do lado direito:

#d/dx(x)=d/dxcosy#

#1=-dy/dxsiny#

Resolva para #dy/dx#:

#dy/dx=-1/siny#

Precisamos nos livrar do #siny.#

Dissemos anteriormente #y=cos^-1x#. Assim,

#dy/dx=-1/sin(cos^-1x)#

Agora, lembre-se da identidade

#sin^2x+cos^2x=1#

Na identidade, substitua #x# com #cos^-1x:#

#sin^2(cos^-1x)+cos^2(cos^-1x)=1#

#cos^2(cos^-1x)=(cos(cos^-1x))^2=x^2#

#sin^2(cos^-1x)+x^2=1#

#sin^2(cos^-1x)=1-x^2#

#sin(cos^-1x)=sqrt(1-x^2)#

Assim,

#dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)#