Qual é a derivada de `f (x) = cos ^ -1 (x)`?

Em geral,

`d/dxcos^-1x=-1/sqrt(1-x^2)`

Veja como obtemos esse derivado comum:

`y=cos^-1x -> x=cosy` da definição de uma função inversa.

Diferencie os dois lados da `x=cosy.`

Isso implicará o uso de Diferenciação implícita do lado direito:

`d/dx(x)=d/dxcosy`

`1=-dy/dxsiny`

Resolva para `dy/dx`:

`dy/dx=-1/siny`

Precisamos nos livrar do `siny.`

Dissemos anteriormente `y=cos^-1x`. Assim,

`dy/dx=-1/sin(cos^-1x)`

Agora, lembre-se da identidade

`sin^2x+cos^2x=1`

Na identidade, substitua `x` com `cos^-1x:`

`sin^2(cos^-1x)+cos^2(cos^-1x)=1`

`cos^2(cos^-1x)=(cos(cos^-1x))^2=x^2`

`sin^2(cos^-1x)+x^2=1`

`sin^2(cos^-1x)=1-x^2`

`sin(cos^-1x)=sqrt(1-x^2)`

Assim,

`dy/dx=-1/sqrt(1-x^2)`