Qual é a derivada de y = arctan (4x) ?
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4/(16x^2 + 1)
Explicação
Primeiro lembre-se de que d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1).
Através do regra da cadeia:
1). d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)
2). d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)
Se não está claro o porquê d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1), continue lendo, enquanto eu mostrarei a identidade.
Vamos começar simplesmente com
1). y = arctan x.
A partir disso, está implícito que
2). tan y = x.
Usando diferenciação implícita, tendo o cuidado de usar a regra de cadeia em tan y, chegamos a:
3). sec^2 y dy/dx = 1
Resolvendo para dy/dx nos dá:
4). dy/dx = 1/(sec^2 y)
O que simplifica ainda mais:
5). dy/dx = cos^2 y
Em seguida, uma substituição usando nossa equação inicial nos dará:
6). dy/dx = cos^2(arctan x)
Isso pode não parecer muito útil, mas há uma identidade trigonométrica que pode nos ajudar.
Recordar tan^2alpha + 1 = sec^2alpha. Isso parece muito com o que temos na etapa 6. De fato, se substituirmos alpha com arctan xe reescreva o sec em termos de cos então obtemos algo bastante útil:
tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))
Isso simplifica para:
x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))
Agora, basta multiplicar algumas coisas e obteremos:
1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)
Lindo. Agora podemos simplesmente substituir a equação que temos na etapa 6:
7). dy/dx = 1/(x^2 + 1)
E voilà - aqui está a nossa identidade.