Qual é a integral de `cos ^ 6 (x)`?

Esta será uma resposta longa.

Então, o que você deseja encontrar é:

`int cos^6(x)dx`

Você pode se lembrar de uma regra prática: sempre que precisar integrar um poder uniforme da função cosseno, use a identidade:

`cos^2(x) = (1+cos(2x))/2`

Primeiro, dividimos os cossenos:

`int cos^2(x)*cos^2(x)*cos^2(x) dx`

Agora podemos substituir todos os `cos^2(x)` com a identidade acima:

`int (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 dx`

Você pode trazer o fator `1/8` fora da integral:

`1/8 int (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) dx`

Agora você pode aplicar FOLHA duas vezes, mas eu prefiro usar Newton Teorema binomial. A partir deste teorema é que

`(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3`

Vamos aplicar isso à integral.

`1/8 int (1+cos(2x))^3dx`

`=1/8 int 1^3+3*1^2*cos(2x)+3*1*cos^2(2x)+cos^3(2x) dx`

`=1/8 int 1+3cos(2x)+3cos^2(2x)+cos^3(2x) dx`

Agora já podemos juntar um pouco essa integral:

`1/8(int 1dx + 3int cos(2x)dx + 3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)`

`1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)`

Se você precisa saber como surgiu instantaneamente esse segundo mandato:
`int cos(2x)dx`

Sempre que você tiver uma integral básica (como cos), mas com uma `x` (`ax`), você pode apenas integrar normalmente, mas no final, multiplicar por um fator de `1/a`. Aqui se torna:

`sin(2x)*1/2`

Voltando ao problema: lembraremos dos dois primeiros fatores da solução e resolveremos `int cos^2(2x)dx` e `int cos^3(2x)dx` separadamente.

`int cos^2(2x)dx = int (1 + cos(4x))/2`

(usando a identidade. Torna-se `4x` porque você dobra.)

`= 1/2int dx + 1/2int cos(4x)dx`

`= 1/2x + 1/2sin(4x)*1/4`

`= 1/2x + 1/8sin(4x)`

Em seguida, `int cos^3(2x)dx`

Sempre que você tem um poder ímpar de cossenos, pode fazer o seguinte:

`int cos^2(2x)cos(2x)dx`

Agora você deve usar a identidade `sin^2(x)+cos^2(x) = 1`

`int (1-sin^2(2x))cos(2x)dx`

Agora você deve aplicar `u`-substituição:

`u = sin(2x) <=> du = 2cos(2x)dx <=> 1/2 du = cos(2x)dx`

So

`1/2int (1-u^2)du`

`1/2int du - int u^2 du`

`1/2(u - 1/3u^3)`

`1/2[sin(2x)-1/3sin^3(2x)]`

Agora, temos todas as nossas peças para completar a integral. Lembre-se que tínhamos:

`1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)`
`= 1/8x + 3/16sin(2x) + 3/8[(1/2x + 1/8sin(4x)) + 1/8[1/2 * (sin(2x)-1/3sin^3(2x))]`

`=1/8x + 3/16sin(2x) + 3/16x + 3/64sin(4x) + 1/16sin(2x)-1/48sin^3(2x)`

Você pode simplificar um pouco, o que não é tão difícil, deixarei isso como um desafio para você: D.

Eu espero que isso ajude. Foi divertido!