Qual é a integral de # (cosx) ^ 2 #?

Usaremos a identidade de ângulo duplo do cosseno para reescrever #cos^2x#. (Observe que #cos^2x=(cosx)^2#, são maneiras diferentes de escrever a mesma coisa.)

#cos(2x)=2cos^2x-1#

Isso pode ser resolvido para #cos^2x#:

#cos^2x=(cos(2x)+1)/2#

Assim,

#intcos^2xdx=int(cos(2x)+1)/2dx#

Divida a integral:

#=1/2intcos(2x)dx+1/2intdx#

A segunda integral é a "integral perfeita:" #intdx=x+C#.

#=1/2intcos(2x)dx+1/2x#

A constante de integração será adicionada na avaliação da integral restante.

Para a integral do cosseno, use substituição. Deixei #u=2x#, O que implica que #du=2dx#.

Multiplique o integrando #2# e o exterior da integral por #1/2#.

#=1/4int2cos(2x)dx+1/2x#

Substitua em #u# e #du#:

#=1/4intcos(u)du+1/2x#

Observe que #intcos(u)du=sin(u)+C#.

#=1/4sin(u)+1/2x+C#

Desde #u=2x#:

#=1/4sin(2x)+1/2x+C#

Observe que isso pode ser de várias maneiras diferentes, pois #sin(2x)=2sinxcosx#.