Qual é a integral de ln (2x + 1)?

$\int u d v = u v - \int v d u$ $int u dv=uv - int v du$

$\int ln (2 x + 1) d x$ $int ln(2x+1) dx$

por Substituição $t = 2 x + 1$ $t=2x+1$ . $\Rightarrow \frac{d t}{d x} = 2 \Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$ $=> {dt}/{dx}=2 => dx={dt}/2$

$= \frac{1}{2} \int ln t d t$ $=1/2int ln t dt$

por integração por peças,

Deixei $u = ln t$ $u=ln t$ e $d v = d t$ $dv=dt$
$\Rightarrow d u = \frac{1}{t} d t$ $=> du = 1/{t}dt" "$ $v = t$ $v=t$

$= \frac{1}{2} (t ln t - \int d t)$ $=1/2(t ln t - int dt)$

$= \frac{1}{2} (t ln t - t) + C$ $=1/2(t ln t - t) + C$

colocando $t = 2 x + 1$ $t=2x+1$ de volta

$= \frac{1}{2} [(2 x + 1) ln (2 x + 1) - (2 x + 1)] + C$ $=1/2[(2x+1)ln(2x+1)-(2x+1)]+C$

Espero que isso tenha sido útil.