Qual é a raiz quadrada do 42?

Responda:

$\sqrt{42} \approx \frac{8479}{1350} = 6.48 ¯ ¯¯¯¯ ¯ 074 \approx 6.4807407$ $sqrt(42) ~~ 8479/1350 = 6.48bar(074) ~~ 6.4807407$

Explicação:

$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ $42=2*3*7$ não tem fatores quadrados, então $\sqrt{42}$ $sqrt(42)$ não pode ser simplificado. é um número irracional entre $6$ $6$ e $7$ $7$

Observe que $42 = 6 \cdot 7 = 6 (6 + 1)$ $42 = 6*7 = 6(6+1)$ está na forma $n (n + 1)$ $n(n+1)$

Os números deste formulário têm raízes quadradas com uma simples expansão contínua da fração:

$sqrt(n(n+1)) = [n;bar(2,2n)] = n + 1/(2+1/(2n+1/(2+1/(2n+1/(2+...)))))$

Portanto, em nosso exemplo, temos:

$sqrt(42) = [6;bar(2, 12)] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/(2+...)))))$

Podemos truncar a fração continuada mais cedo (de preferência antes de um dos $12$ para obter boas aproximações racionais para $sqrt(42)$ .

Por exemplo:

$sqrt(42) ~~ [6;2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/2)) = 337/52 = 6.48bar(076923)$

$sqrt(42) ~~ [6;2,12,2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/2)))) = 8479/1350 = 6.48bar(074) ~~ 6.4807407$

Essa aproximação terá aproximadamente tantos dígitos significativos quanto a soma dos dígitos significativos do numerador e denominador, portanto, parará após $7$ casas decimais.