Qual é a raiz quadrada do 42?

#42=2*3*7# não tem fatores quadrados, então #sqrt(42)# não pode ser simplificado. é um número irracional entre #6# e #7#

Observe que #42 = 6*7 = 6(6+1)# está na forma #n(n+1)#

Os números deste formulário têm raízes quadradas com uma simples expansão contínua da fração:

#sqrt(n(n+1)) = [n;bar(2,2n)] = n + 1/(2+1/(2n+1/(2+1/(2n+1/(2+...)))))#

Portanto, em nosso exemplo, temos:

#sqrt(42) = [6;bar(2, 12)] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/(2+...)))))#

Podemos truncar a fração continuada mais cedo (de preferência antes de um dos #12#para obter boas aproximações racionais para #sqrt(42)#.

Por exemplo:

#sqrt(42) ~~ [6;2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/2)) = 337/52 = 6.48bar(076923)#

#sqrt(42) ~~ [6;2,12,2,12,2] = 6+1/(2+1/(12+1/(2+1/(12+1/2)))) = 8479/1350 = 6.48bar(074) ~~ 6.4807407#

Essa aproximação terá aproximadamente tantos dígitos significativos quanto a soma dos dígitos significativos do numerador e denominador, portanto, parará após #7# casas decimais.