Qual é a raiz quadrada do 90?

#sqrt(90) = sqrt(3^2*10) = 3sqrt(10)# é um número irracional em algum lugar entre #sqrt(81)=9# e #sqrt(100) = 10#.

De fato, desde #90 = 9 * 10# é da forma #n(n+1)# ele tem uma expansão de fração contínua regular do formulário #[n;bar(2,2n)]#:

#sqrt(90) = [9;bar(2,18)] = 9+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+1/(2+1/(18+...))))))#

Uma maneira divertida de encontrar aproximações racionais é usar uma sequência inteira definida por uma recorrência linear.

Considere a equação quadrática com zeros #19+2sqrt(90)# e #19-2sqrt(90)#:

#0 = (x-19-2sqrt(90))(x-19+2sqrt(90))#

#color(white)(0) =(x-19)^2-(2sqrt(90))^2#

#color(white)(0) =x^2-38x+361-360#

#color(white)(0) =x^2-38x+1#

Assim:

#x^2 = 38x-1#

Use isso para derivar uma sequência:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 38a_(n+1)-a_n) :}#

Os primeiros termos dessa sequência são:

#0, 1, 38, 1443, 54796, 2080805,...#

A relação entre termos sucessivos tenderá a #19+2sqrt(90)#

Conseqüentemente:

#sqrt(90) ~~ 1/2(2080805/54796-19) = 1/2(1039681/54796) = 1039681/109592 ~~ 9.48683298051#