Qual é a soma do ponto médio de Riemann?

Assumirei que você conhece a idéia geral de uma soma de Riemann.

Provavelmente é mais simples mostrar um exemplo:

Para o intervalo: $[1,3]$ e para $n=4$

nós achamos $Delta x$ como sempre, para Riemann soma:

$Delta x = (b-a)/n = (3-1)/4 = 1/2$

Agora os pontos finais dos subintervalos são:

$1, 3/2, 2, 5/2, 2$

Os quatro primeiros são pontos finais à esquerda e os quatro últimos são pontos finais à direita dos subintervalos.

A soma esquerda de Riemann usa os pontos finais esquerdos para encontrar a altura do retângulo. (E a soma certa.)

A soma do ponto médio usa os pontos médios dos subintervalos:

$[1, 3/2]$ $[3/2,2]$ $[2,5/2]$ $[5/2, 3]$

O ponto médio de um intervalo é a média (média) dos pontos de extremidade:

$m_1 = 1/2(1+3/2) = 5/4$

$m_2 = 1/2(3/2 + 2) = 7/4$

$m_3 = 1/2 (2+5/2) = 9/4$

$m_4 = 1/2 (5/2+3) = 11/4$

Agora, qualquer que seja a função $f$ , obtemos a soma:

$Delta x (f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)+f(m_4))$

$= 1/2(f(5/4)+f(7/4)+f(9/4)+f(11/4))$