Qual é a velocidade do nível da água subindo quando a água tem 3 cm de profundidade (no ponto mais profundo) se a água é vertida em um recipiente cônico à taxa de 10 cm3 / s. o cone aponta diretamente para baixo e tem uma altura de 25 cm e um raio de base de 15 cm?

Dada a taxa de variação do volume em relação ao tempo, é
#(d V) / dt = 10 ##(cub. cm)/(sec)#

Estamos procurando a taxa de mudança de altura em relação ao tempo:
#(d h) / dt#

#(d V)/(dt) * ( ? ) = (d h)/(dt)#

A substituição óbvia para #( ? )# parece ser
#(d h)/(dV)#, a taxa de alteração de altura em relação ao volume.

O volume de um cone é dado pela fórmula:
#V = (Pi r^2 h)/3#

A relação entre o raio e a altura para o cone fornecido é
#r/h = 15/25 = 3/5# (veja o diagrama)

or
#r = 3/5 h#

Então, para o cone fornecido:
#V = (Pi * (3/5 h)^2* h)/3 = (3 Pi h^3)/25 (cub. cm)#

portanto
#(d V)/(dh) = (9 Pi)/(25) h^2 (sq. cm)#

#rarr (d h)/(dV) = (25)/( 9 Pi h^2 (sq. cm))#

#(d h)/(dt)#
#=(d V)/(dt) * (d h)/(dV) = (10 cub. cm)/(sec) * (25)/(9 Pi h^2 (sq. cm))#
#= (250 cm)/(9 Pi h^2 sec)#

em h = 3
#(d h)/(dt)# torna-se
#(250)/(9 Pi xx (9)) ((cm)/(sec))#

# = (250/(81 * Pi)) ((cm)/(sec))#