Qual é o padrão na sequência 1 2 4 3 6 8 7 14 16?

Não é uma sequência matematicamente significativa, mas você pode expressá-la algebricamente com uma única fórmula?

Considerar #omega = -1/2+i sqrt(3)/2#

Isso tem a propriedade que #omega^3 = 1#

Então podemos escrever:

#a_0 = 1#

#a_(i+1) = ((omega^i - omega)(omega^i - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2))2a_i+((omega^i-omega^2)(omega^i-1))/((omega-omega^2)(omega-1))(a_i+2)+((omega^i-1)(omega^i-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega))(a_i-1)#

Isso pode ser simplificado, mas ajuda a tê-lo nesta formulação para que você possa entender como ele funciona.

Quando #i = 0# módulo #3#, então:

#((omega^i - omega)(omega^i - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2)) = ((1 - omega)(1 - omega^2))/((1-omega)(1-omega^2)) = 1#

#((omega^i-omega^2)(omega^i-1))/((omega-omega^2)(omega-1)) = ((1-omega^2)(1-1))/((1-omega^2)(omega-1)) = 0#

#((omega^i-1)(omega^i-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega)) = ((1-1)(1-omega))/((omega^2-1)(omega^2-omega)) =0#

Quando #i = 1# módulo #3#, então essas expressões de coeficiente são avaliadas como #0#, #1# e #0#.

Quando #i=2# módulo #3#, então essas expressões de coeficiente são avaliadas como #0#, #0# e #1#.

Então, usamos essas opções para escolher cada uma das três regras ciclicamente.