Quando você usaria a substituição duas vezes?

Responda:

Quando estamos revertendo uma diferenciação que tinha a composição de três funções. Aqui está um exemplo.

Explicação:

$\int {sin}^{4} (7 x) cos (7 x) d x$ $int sin^4(7x)cos(7x)dx$

Deixei $u = 7 x$ $u=7x$ . Isto faz $d u = 7 d x$ $du = 7dx$ e nossa integral pode ser reescrita:

$\frac{1}{7} \int {sin}^{4} u cos u d u = \frac{1}{7} \int {(sin u)}^{4} cos u d u$ $1/7 int sin^4ucosudu = 1/7int(sinu)^4cosudu$

Para evitar o uso $u$ $u$ para significar duas coisas diferentes em uma discussão, usaremos outra variável ( $t, v, w$ $t, v, w$ são todas escolhas populares)

Deixei $w = sin u$ $w=sinu$ , então nós temos $d w = cos u d u$ $dw = cosudu$ e nossa integral se torna:

$\frac{1}{7} \int w^{4} d w$ $1/7intw^4dw$

Nós integramos e substituimos de volta:

$\frac{1}{7} \int w^{4} d w = \frac{1}{35} w^{5} + C$ $1/7intw^4dw = 1/35 w^5 +C$

$= \frac{1}{35} {sin}^{5} u + C$ $= 1/35 sin^5u +C$

$= \frac{1}{35} {sin}^{5} 7 x + C$ $= 1/35 sin^5 7x +C$

Se verificarmos a resposta diferenciando, usaremos o regra da cadeia duas vezes.

$\frac{d}{d x} ({(sin (7 x))}^{5}) = 5 {(sin (7 x))}^{4} \cdot \frac{d}{d x} (sin (7 x))$ $d/dx((sin(7x))^5) = 5(sin(7x))^4*d/dx(sin(7x))$

$= 5 {(sin (7 x))}^{4} \cdot cos (7 x) \frac{d}{d x} (7 x)$ $= 5(sin(7x))^4*cos(7x)d/dx(7x)$

$= 5 {(sin (7 x))}^{4} \cdot cos (7 x) \cdot 7$ $= 5(sin(7x))^4*cos(7x)*7$