Quando você usaria a substituição duas vezes?

#int sin^4(7x)cos(7x)dx#

Deixei #u=7x#. Isto faz #du = 7dx# e nossa integral pode ser reescrita:

#1/7 int sin^4ucosudu = 1/7int(sinu)^4cosudu#

Para evitar o uso #u# para significar duas coisas diferentes em uma discussão, usaremos outra variável (#t, v, w# são todas escolhas populares)

Deixei #w=sinu#, então nós temos #dw = cosudu# e nossa integral se torna:

#1/7intw^4dw#

Nós integramos e substituimos de volta:

#1/7intw^4dw = 1/35 w^5 +C#

# = 1/35 sin^5u +C#

# = 1/35 sin^5 7x +C#

Se verificarmos a resposta diferenciando, usaremos o regra da cadeia duas vezes.

#d/dx((sin(7x))^5) = 5(sin(7x))^4*d/dx(sin(7x))#

# = 5(sin(7x))^4*cos(7x)d/dx(7x)#

# = 5(sin(7x))^4*cos(7x)*7#