Se # He # (g) possui uma energia cinética média de 5930 J / mol sob certas condições, qual é a velocidade quadrada média raiz das moléculas de # N_2 # (g) nas mesmas condições?

Bem, o que há em comum? Não os graus de liberdade, mas a temperatura.

#v_(RMS)("N"_2) = "650.7 m/s"#

A energia cinética média de #"N"_2# seria maior, porque tem mais maneiras de se mover. Mas sua velocidade RMS é mais baixa devido à sua maior massa molar.

O hélio é um átomo, que se traduz em 3 dimensões, com zero grau de liberdade de rotação e vibração.

Portanto, de acordo com o teorema da equipartição,

#<< kappa >> -= K/n = N/2RT#

is the average kinetic energy, where we have that #N = 3# for helium atom's linear degrees of freedom.

Em que temperatura está?

#T = 2/3 1/R << kappa >>#

#= 2/3 cdot 1/("8.314 J/mol"cdot"K") cdot "5930 J/mol"#

#=# #"475.5 K"#

Agora, uma armadilha seria assumir que #N# é o mesmo para #"N"_2#... não é. #"N"_2# é um MOLECULE, que gira e vibra. Como se vê,

• Os graus de liberdade de rotação não são desprezíveis à temperatura ambiente.
• Os graus de liberdade vibracional são desprezíveis para as moléculas diatômicas à temperatura ambiente.

Então, o que descobrimos é que

#N = N_("trans") + N_("rot") + N_"vib" ~~ 3 + 2#

because diatomic molecules rotate using two angles in spherical coordinates (#theta,phi#).

Felizmente, isso não importa, porque tudo o que queremos é o velocidade quadrática média quadrática, que depende apenas da massa molar e da temperatura.

#v_(RMS) = sqrt((3RT)/M)#

where #M# is the molar mass in #"kg/mol"#. Why is that necessary? Why not #"g/mol"#? Well, what are the units of #R#?

#color(blue)(v_(RMS)("N"_2)) = sqrt((3RT)/M)#

#= sqrt((3cdot"8.314 kg"cdot"m"^2"/s"^2//"mol"//"K" cdot "475.5 K")/"0.028014 kg/mol")#

#=# #color(blue)("650.7 m/s")#