Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com raio 2 me altura 5 m. A água está saindo do tanque através de um pequeno orifício na parte inferior. Qual é a taxa de variação do nível da água quando a vazão mostra 3 m ^ 3 / min em altura, h = 4 m ?
Responda:
taxa de mudança é 6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min
Explicação:
Nos é dada a taxa de variação de volume
(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s
e são solicitados a encontrar a taxa de alteração do nível da água, (dh)/dt.
Em termos de uma equação diferencial, podemos expressar isso como
(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05 que vamos chamar equação1
nós queremos encontrar (dh)/dt então precisaremos encontrar (dV)/(dh).
O volume de um cone é dado por
V=pir^2h/3
E neste caso r/h=2/5 so r=2/5h
Substituindo isso na equação de Volume, obtém-se:
V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3
Agora podemos diferenciar:
(dV)/(dh)=pi12/75h^2
Quando h = 4, então (dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi
Portanto, se a substituirmos novamente na equação 1:
(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05
(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min