Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com raio 2 me altura 5 m. A água está saindo do tanque através de um pequeno orifício na parte inferior. Qual é a taxa de variação do nível da água quando a vazão mostra #3 m ^ 3 / min # em altura, # h = 4 m #?

Nos é dada a taxa de variação de volume
#(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s#
e são solicitados a encontrar a taxa de alteração do nível da água, #(dh)/dt#.

Em termos de uma equação diferencial, podemos expressar isso como
#(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05# que vamos chamar equação1

nós queremos encontrar #(dh)/dt# então precisaremos encontrar #(dV)/(dh)#.

O volume de um cone é dado por
#V=pir^2h/3#

E neste caso #r/h=2/5# so #r=2/5h#

Substituindo isso na equação de Volume, obtém-se:

#V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3#

Agora podemos diferenciar:

#(dV)/(dh)=pi12/75h^2#

Quando h = 4, então #(dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi#

Portanto, se a substituirmos novamente na equação 1:

#(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05#

#(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min#