Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com raio 2 me altura 5 m. A água está saindo do tanque através de um pequeno orifício na parte inferior. Qual é a taxa de variação do nível da água quando a vazão mostra $3 m ^ 3 / min$ em altura, $h = 4 m$ ?

taxa de mudança é $6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min$

Nos é dada a taxa de variação de volume
$(dV)/dt=3m^3/min=0.05m^3/s$
e são solicitados a encontrar a taxa de alteração do nível da água, $(dh)/dt$ .

Em termos de uma equação diferencial, podemos expressar isso como
$(dV)/dt=(dV)/(dh)*(dh)/dt=0.05$ que vamos chamar equação1

nós queremos encontrar $(dh)/dt$ então precisaremos encontrar $(dV)/(dh)$ .

O volume de um cone é dado por
$V=pir^2h/3$

E neste caso $r/h=2/5$ so $r=2/5h$

Substituindo isso na equação de Volume, obtém-se:

$V=pir^2h/3=pi(2/5h)^2(h/3)=pi4/75h^3$

Agora podemos diferenciar:

$(dV)/(dh)=pi12/75h^2$

Quando h = 4, então $(dV)/(dh)=pi12/75h^2=2.56pi$

Portanto, se a substituirmos novamente na equação 1:

$(2.56pi)*((dh)/dt)=0.05$

$(dh)/dt=0.05/(2.56pi)=6.2times 10^-3ms^-1=0.37m/ min$

Um tanque de água tem a forma de um cone invertido com raio 2 me altura 5 m. A água está saindo do tanque através de um pequeno orifício na parte inferior. Qual é a taxa de variação do nível da água quando a vazão mostra 3 m ^ 3 / min 3 m ^ 3 / min em altura, h = 4 m h = 4 m ?