Uma caixa com base quadrada e parte superior aberta deve ter um volume de 32,000cm ^ 3. Como você encontra as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado?

O volume de uma caixa com uma base quadrada x by x cm e altura h cm é V=x^2h

A quantidade de material usado é diretamente proporcional à área da superfície, portanto, minimizaremos a quantidade de material minimizando a área da superfície.

A área de superfície da caixa descrita é A=x^2 +4xh

Precisamos A como a função de x sozinho, então usaremos o fato de que
V=x^2h = 32,000 cm ^ 3

o que nos dá h = (32,000)/x^2, então a área se torna:

A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x

Queremos minimizar A, assim

A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0 quando (2x^3-128,000)/x^2 = 0

O que ocorre quando x^3 - 64,000 = 0 or x=40

O único número crítico é x=40 cm.

O segundo teste derivado verifica se A tem um mínimo neste número crítico:
A'' = 2+(256,000)/x^3 o que é positivo em x = 40.

A caixa deve ter base 40 cm por 40 cm e altura 20 cm.

(usar h = (32,000)/x^2 e x=40)