Uma caixa com base quadrada e parte superior aberta deve ter um volume de 32,000cm ^ 3. Como você encontra as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado?
O volume de uma caixa com uma base quadrada #x# by #x# cm e altura #h# cm é #V=x^2h#
A quantidade de material usado é diretamente proporcional à área da superfície, portanto, minimizaremos a quantidade de material minimizando a área da superfície.
A área de superfície da caixa descrita é #A=x^2 +4xh#
Precisamos #A# como a função de #x# sozinho, então usaremos o fato de que
#V=x^2h = 32,000# cm ^ 3
o que nos dá #h = (32,000)/x^2#, então a área se torna:
#A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x#
Queremos minimizar #A#, assim
#A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0# quando #(2x^3-128,000)/x^2 = 0#
O que ocorre quando #x^3 - 64,000 = 0# or #x=40#
O único número crítico é #x=40# cm.
O segundo teste derivado verifica se #A# tem um mínimo neste número crítico:
#A'' = 2+(256,000)/x^3# o que é positivo em #x = 40#.
A caixa deve ter base 40 cm por 40 cm e altura 20 cm.
(usar #h = (32,000)/x^2# e #x=40#)