Uma caixa com base quadrada e parte superior aberta deve ter um volume de 32,000cm ^ 3. Como você encontra as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado?

O volume de uma caixa com uma base quadrada $x$ by $x$ cm e altura $h$ cm é $V=x^2h$

A quantidade de material usado é diretamente proporcional à área da superfície, portanto, minimizaremos a quantidade de material minimizando a área da superfície.

A área de superfície da caixa descrita é $A=x^2 +4xh$

Precisamos $A$ como a função de $x$ sozinho, então usaremos o fato de que
$V=x^2h = 32,000$ cm ^ 3

o que nos dá $h = (32,000)/x^2$ , então a área se torna:

$A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x$

Queremos minimizar $A$ , assim

$A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0$ quando $(2x^3-128,000)/x^2 = 0$

O que ocorre quando $x^3 - 64,000 = 0$ or $x=40$

O único número crítico é $x=40$ cm.

O segundo teste derivado verifica se $A$ tem um mínimo neste número crítico:
$A'' = 2+(256,000)/x^3$ o que é positivo em $x = 40$ .

A caixa deve ter base 40 cm por 40 cm e altura 20 cm.

(usar $h = (32,000)/x^2$ e $x=40$ )