Uma partícula está se movendo em um círculo de raio R de tal maneira que a qualquer momento o componente normal e tangencial de sua aceleração é igual. Se a velocidade em t = 0 for # v_o #, o tempo necessário para concluir a primeira revolução é?

chamada #hat n = (cos theta, sin theta)# e #hat tau = (-sintheta, costheta)# temos

#p = R hat n rArr dot p = R dot theta hat tau rArr ddot p = R ddot theta hat tau - R (dot theta)^2 hat n#

Nós temos

#R ddot theta = R (dot theta)^2 rArr dot v_t = 1/R v_t^2#

Aqui #v_t = # velocidade tangencial.

Integração

#1/v_t +t/R = 1/v_0# mas #v_t = (ds)/dt# so

#(ds)/(dt) = (R v_0)/(R-t v_0)# e integrando novamente

#s = s_0 - R log_e((R-t v_0)/R)# mas #s_0 = 0# e

#2piR = -R log_e((R-t v_0)/R)# então

#t = R/v_0(1 - e^(-2pi))#