Março 13, 2020

por Marti

Como você integra $\frac{1}{x^{2} + 9}$ $1 / (x ^ 2 + 9)$ ?

Responda:

$\frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C$ $1/3arctan(x/3)+C$

Explicação:

Vamos tentar colocar isso na forma da integral do arco tangente:

$\int \frac{1}{u^{2} + 1} d u = arctan (u) + C$ $int1/(u^2+1)du=arctan(u)+C$

Então aqui, vemos que:

$\int \frac{1}{x^{2} + 9} d x = \int \frac{1}{9 (\frac{x^{2}}{9} + 1)} d x = \frac{1}{9} \int \frac{1}{{(\frac{x}{3})}^{2} + 1} d x$ $int1/(x^2+9)dx=int1/(9(x^2/9+1))dx=1/9int1/((x/3)^2+1)dx$

Deixei $u = \frac{x}{3}$ $u=x/3$ , O que implica que $d u = \frac{1}{3} d x$ $du=1/3dx$ :

$= \frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{x}{3})}^{2} + 1} d x = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2} + 1} d u = \frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C$ $=1/3int(1/3)/((x/3)^2+1)dx=1/3int1/(u^2+1)du=1/3arctan(x/3)+C$