Como você encontra a inclinação de uma curva polar?
Responda:
If #r=f(theta)# é a curva polar, então a inclinação em qualquer ponto nessa curva com coordenadas polares específicas #(r,theta)# is #(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Explicação:
If #r=f(theta)#, Em seguida #x=r cos(theta)=f(theta)cos(theta)# e #y=r sin(theta)=f(theta)sin(theta)#. Isso implica, pelo Regra do produto, Que #dx/(d theta)=f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta)# e #dy/(d theta)=f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta)#.
portanto #mbox{slope}=dy/dx=(dy/(d theta))/(dx/(d theta))=(f'(theta)sin(theta)+f(theta)cos(theta))/(f'(theta)cos(theta)-f(theta)sin(theta))#
Eu testei isso com a curva polar #r=f(theta)=theta#, o que deu #dy/dx=(sin(theta)+theta cos(theta))/(cos(theta)-theta sin(theta))# e, no ponto com coordenadas polares #(r,theta)=(f(theta),theta)=(f((5pi)/6),(5pi)/6)=((5pi)/6,(5pi)/6) approx (2.62,2.62)# (e coordenadas retangulares #(x,y) approx (-2.28,1.31)#)
#dy/dx=(sin((5pi)/6)+(5pi)/6 * cos((5pi)/6))/(cos((5pi)/6)-(5pi)/6 * sin((5pi)/6))=(1/2 + (5pi)/6 * (-sqrt(3)/2) )/(-sqrt(3)/2 -(5pi)/6 * 1/2) approx 0.81252#. Eu representei graficamente a curva polar junto com sua tangente neste ponto e obtive a figura a seguir. Isso parece bom.
