Em uma festa, ocorreram apertos de mão 66. Cada pessoa apertou as mãos exatamente uma vez com as outras pessoas presentes. Quantas pessoas estavam presentes?

Vamos começar com um pequeno número de pessoas e apertos de mão e partir daí. Representarei pessoas com letras para mostrar os apertos de mão:

Se temos pessoas 2, há um aperto de mão 1 #(AB)#.

Se temos pessoas 3, existem handshakes 3 #(AB, AC, BC)#.

Se temos pessoas 4, existem handshakes 6 #(AB, AC, AD, BC, BD, CD)#.

Se temos pessoas 5, existem handshakes 10 #(AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE)#.

Veja que podemos expressar o número de handshakes como a soma de números inteiros positivos consecutivos, começando com 1, ou seja, #1+2+3+...+(n-1)# e o número de pessoas presentes é #n#

Vamos testar isso com pessoas 5. Nós temos #1+2+3+4=10# apertos de mão. #n-1=4=>n=5# qual é o número de pessoas.

Portanto, o que precisamos fazer é adicionar o 66 e poderemos encontrar o número de pessoas:

#1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66=>#

#=>n-1=11=>n=12#