Como você resolve # cscx + cotx = 1 # para #0 <= x <= 2pi #?

Considere as seguintes identidades:

•#csctheta = 1/sintheta#

•#cottheta = 1/(tan theta) = 1/(sintheta/costheta) = costheta/sintheta#

Aplicando essas duas identidades à equação inicial, temos o seguinte:

#1/sinx + cosx/sinx = 1#

#(1 + cosx)/sinx = 1#

#1 + cosx = sinx#

#(1 + cosx)^2 = (sinx)^2#

#1 + 2cosx + cos^2x = sin^2x#

#cos^2x - sin^2x + 2cosx + 1 = 0#

Convertendo o #sin^2x# para #1 - cos^2x# de acordo com a identidade pitagórica #sin^2x + cos^2x = 1#:

#cos^2x - (1 - cos^2x) + 2cosx + 1 = 0#

#cos^2x - 1 + cos^2x + 2cosx + 1 = 0#

#2cos^2x + 2cosx = 0#

#2cosx(cosx + 1) = 0#

#cosx = 0 and cosx = -1#

#x = pi/2, (3pi)/2, pi#

Contudo, #pi# é estranho, pois torna o denominador igual a zero e, portanto, a expressão indefinida. o #(3pi)/2# também é estranho, porque não funciona na equação inicial.

Portanto, o conjunto de soluções é #{pi/2}#.

Espero que isso ajude!