Integração de sinx / x de 0 ao infinito?

Procuramos:

# I = int_0^oo sinx/x dx #

Deixei #g(x) = sinx/x => g(-x) = sin(-x)/(-x) = sinx/x #

Assim #g(x)# é uma função par e, como tal:

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx #

Considere a função baseada em complexo # f(z)=e^(iz)/z #, Que tem um poste simples em #z=0#, consideramos a integral do contorno:

# J = oint_C f(z) dz = oint_C e^(iz)/z dz # where #z in CC#

onde #C# é um semicírculo de raio #R# centrado na origem que é deformada na origem com um semicírculo menor de raio #epsilon# para excluir o poste em #z = 0#, e atravessamos o contorno no sentido anti-horário.

O integrando não possui pólos em #C# como o poste #z = 0# está excluído na construção acima. Assim, pelo Teorema de Cauchy:

# oint_C f(z) dz = 0#

Agora (em taquigrafia),

# oint_C f(z) dz = int_(-R)^(epsilon) + int_(gamma_epsilon) + int_(epsilon)^R + int_(Gamma_R) = 0#

Exigimos uma estimativa para #int_(Gamma_R) f(z) dz #. Notar que #z=Re^(i theta)# on #Gamma_R#, temos:

# abs(int_(Gamma_R) e^(iz)/z dz) = abs(int_o^oo e^(iRcos theta-R sin theta) / (Re^(i theta)) iRe^(i theta) d theta ) #
# " " le int_0^pi e^(-Rsin theta) d theta #
# " " = 2 int_0^(pi/2) e^(-Rsin theta) d theta #
# " " le 2 int_0^(pi/2) e^((-2R theta) / pi) d theta # using #sin theta ge (2theta)/pi#
# " " = 2 [ (2e^((-2Rtheta)/pi) )/ ((-2R)/pi) ]_0^(pi/2)#
# " " = pi/R(1-e^-R)#
# " " rarr 0 # as #R rarr oo#

Dado que o pequeno círculo #gamma_epsilon# tem a equação #z = r(cos theta + isin theta)# para #theta:pi rarr 0# então

# lim_(epsilon rarr 0) int_(gamma_epsilon) f(z) dz = i lim_(epsilon rarr 0) int_pi^0 e^(-rsin theta)e^(ircos theta) dz #
# " " = -pi i #

Tomando os dois limites #R rarr oo# e #epsilon rarr 0#e combinando todos esses resultados, temos:

# int_(-oo)^oo e^(iz)/z dz - pi i = 0 => int_(-oo)^oo (cosx+isinx)/x dx = pi i #

Igualando coeficientes reais e imaginários, obtemos:

# Re: int_(-oo)^oo cosx/x dx = 0 #
# Im: int_(-oo)^oo sinx/x dx = pi #

Então, usando o resultado inicial

# 2I = int_(-oo)^oo sinx/x dx => 2I = pi#

Conseqüentemente,

# I = pi/2 #