Encontre a área de um loop da curva # r = a sin3theta #?

onde #a=1#, a curva se parece com:

Aumentar ou diminuir o valor de #a# mudará apenas o raio da curva.

Para descobrir quando a curva começa e termina, defina #r=0#, pois é aí que a curva está na origem.

If #asin3theta=0#, Em seguida #sin3theta=0#. Desde #sintheta=0# at #theta=0,pi,2pi...# nós vemos isso por #sin3theta#, será #0# at #0,pi//3,2pi//3...#

Portanto, a curva no primeiro quadrante varia de #theta=0# para #theta=pi//3#.

A expressão para a área de qualquer equação polar #r# de #theta=alpha# para #theta=beta# É dado por #1/2int_alpha^betar^2d theta#.

Para um loop da equação dada, a integral correspondente é então #1/2int_0^(pi//3)(asin3theta)^2d theta#.

Trabalhando esta integral:

#1/2int_0^(pi//3)(asin3theta)^2d theta=1/2int_0^(pi//3)a^2(sin^2 3theta)d theta#

Use a identidade #cos2alpha=1-2sin^2alpha# reescrever para #sin^2alpha#, Mostrando que #sin^2alpha=1/2(1-cos2alpha)#.

Podemos usar isso para dizer que #sin^2 3theta=1/2(1-cos6theta)#. Então a integral reduz:

#=1/2int_0^(pi//3)a^2(1/2(1-cos6theta))d theta=a^2/4int_0^(pi//3)(1-cos6theta)d theta#

Integração termo a termo:

#=a^2/4(theta-1/6sin6theta)|_0^(pi//3)#

#=a^2/4[pi/3-1/6sin2pi-(0-1/6sin0)]#

#=a^2/4(pi/3)#

#=(pia^2)/12#