Um retângulo é inscrito em um triângulo equilátero para que um lado do retângulo fique na base do triângulo. Como encontro a área máxima do retângulo quando o triângulo tem comprimento lateral de 10?

Primeiro, vamos olhar uma foto.

Algumas observações iniciais:

• A área #A# do retângulo é #A=bh#.

• Por simetria, a base do triângulo é de comprimento #b+2t#e, portanto, como é de comprimento #10#, temos #b+2t = 10 => t = 5-b/2#

• Se decidirmos #b# que também determina #h#e, assim, podemos escrever #h# como a função de #b#.

Escrever #h# como a função de #b#, podemos olhar para o triângulo retângulo com pernas #t# e #h#. Como ele compartilha um ângulo com um triângulo equilátero, sabemos que é um #30^@#-#60^@#-#90^@# triângulo, e assim #t/h = 1/sqrt(3)#.
Resolvendo para #h# dá-nos #h = sqrt(3)t = sqrt(3)(5-b/2)# pela nossa observação inicial.

Em seguida, podemos reescrever nossa fórmula para a área como

#A = b*sqrt3(5-b/2) = sqrt(3)(-1/2b^2 + 5b)#

Se olharmos para o gráfico para #A# veremos que é uma parábola voltada para baixo e, portanto, terá um máximo no seu vértice. Então, podemos completar o quadrado para encontrar

#A = sqrt(3)(-1/2b^2+5b)#
# = -sqrt(3)/2(b^2-10b)#
# = -sqrt(3)/2((b-5)^2-25)#

E assim o vértice e, portanto, a área máxima, estão em #b = 5#.

Por fim, calculamos a área a partir disso para obter

#A = -sqrt(3)/2((5-5)^2-25) = (25sqrt(3))/2#