Como você encontra todas as soluções de # 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0 #?

#2 cos^2 x - sin x - 1 = 0# para
#x in { (3pi)/2+2npi, pi/6+2npi, (5pi)/6+2npi}# onde #n in ZZ#

Resolver : #2cos^2 x - sin x - 1 = 0# (1)

Primeiro, substitua #cos^2 x# by #(1 - sin^2 x)#

#2(1 - sin^2 x) - sin x - 1 = 0#.

Ligue para # sin x = t#, temos:
#-2t^2 - t + 1 = 0#.
Esta é uma equação quadrática da forma #at^2+bt+c = 0# que pode ser resolvido por atalho:
#t = (-b +- sqrt(b^2 -4ac))/(2a)#
ou fatorando para #-(2t-1)(t+1)=0#

Uma raiz real é #t_1 = -1# e o outro é #t_2 = 1/2#.

Em seguida, resolva as funções trigonométricas básicas do 2:
#t_1 = sin x_1 = -1#
#rarr# #x_1 = pi/2 + 2npi# (Por #n in ZZ#)
e
#t_2 = sin x_2 = 1/2#
#rarr# #x_2 = pi/6 + 2npi#

or
#rarr# #x_2 = (5pi)/6 + 2npi#

Verifique com a equação (1):
#cos (3pi/2) = 0; sin (3pi/2) = -1#
#x = 3pi/2 rarr 0 + 1 - 1 = 0# (corrigir)
#cos (pi/6) = (sqrt 3)/2 rarr 2*cos^ 2(pi/6) = 3/2; sin (pi/6) = 1/2#.
#x = pi/6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0# (corrigir)