Encontre as equações da linha tangente e da linha normal na curva y = (3x ^ 2 - 25) ^ 3 no ponto em que coordenada x de 3?

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos primeiro encontrar a derivada da função. Nesse caso, a função é:

#y = (3x^2 - 25)^3#

Para isso, precisaremos usar regra da cadeia. Tão:

#3(3x^2-25)^2(6x)#

Poderíamos acabar com isso, mas como realmente precisamos apenas de uma inclinação, e não de uma função derivada, vamos deixar como está. Agora, para obter a inclinação em um determinado ponto, vamos conectar o desejado #x# valor (neste caso 3):

= #3(3(3)^2-25)^2(6(3))#

= #3(2)^2(18)#

= #(12)(18)#

= #216#

Agora, precisamos encontrar o #y# coordenada do nosso ponto, para que possamos usar a forma de taylor para escrever a equação. Para fazer isso, tudo o que precisamos fazer é avaliar #f(3)#:

= #(3(3)^2 - 25)^3#

= #2^3#
= 8

Então agora, aqui está nossa equação final para o linha tangente :

#y = 216(x-3)+8#

No entanto, ainda precisamos encontrar a equação para a linha normal. Agora, a linha normal é simplesmente a linha que é perpendicular à linha tangente em qualquer ponto. Sabendo disso, podemos encontrar a inclinação da linha normal, apenas tomando o recíproco negativo da inclinação da linha tangente, que seria:

#-1/216#

Agora, podemos ir em frente e apenas conectar tudo, e este é o equação da linha normal:

#y = -1/216(x-3) + 8#

E pronto, lá vai você.

Espero que tenha ajudado 🙂