Como você encontra equações paramétricas para a linha tangente à curva com as equações paramétricas fornecidas # x = 7t ^ 2-4 # e # y = 7t ^ 2 + 4 # e # z = 6t + 5 # e (3,11,11)?

A resposta é:

#x=3+14t#
#y=11+14t#
#z=11+6t#

O ponto #(3,11,11)# é para #t=1#, como você pode ver substituindo-o nas três equações da curva.

Agora vamos procurar o vetor genérico tangente à curva:

#x'=14t#
#y'=14t#
#z'=6#

Então, para #t=1# isto é: #vecv(14,14,6)#.

Então, lembrando que dado um ponto #P(x_P,y_P,z_P)# e uma direção #vecv(a,b,c)# a linha que passa desse ponto com essa direção é:

#x=x_P+at#
#y=y_P+bt#
#z=z_P+ct#

então a tangente é:

#x=3+14t#
#y=11+14t#
#z=11+6t#

NB A direção #(14,14,6)# é o mesmo que #(7,7,3)#, para que a linha também possa ser escrita:

#x=3+7t#
#y=11+7t#
#z=11+3t#

isso é mais simples!