Como você encontra equações paramétricas para a linha de interseção de dois planos 2x - 2y + z = 1 e 2x + y - 3z = 3?

para a linha, precisaremos

A) um ponto que realmente passa, digamos #vec a#E

B) um vetor que descreve a direção em que viaja, digamos #vec b#

.... de modo que a própria linha seja

#vec r = vec a + lambda vec b qquad square#

Para se qualificar para o #vec a#, podemos simplesmente escolher o completamente arbitrário ponto, então aqui escolhemos o ponto em que z = 0

Isto significa que as equações do plano, nomeadamente

#pi_1: 2x - 2y + z = 1#

#pi_2: 2x + y - 3z = 3#

tornar-se
#2x - 2y = 1#
#2x + y = 3#

e estes resolvemos como equações simultâneas para obter

#x = 7/6, y = 2/3# e, é claro #z = 0#

so #vec a = ((7/6), (2/3), (0))#

para #vec b# precisamos calcular o produto cruzado vetorial dos vetores normais para #pi_1# e #pi_2#.

No desenho abaixo, estamos olhando diretamente para baixo da linha de interseção e temos uma idéia de por que o produto cruzado das normais dos planos vermelho e azul gera um terceiro vetor, perpendicular aos vetores normais, que define a direção da linha de interseção.

para um plano generalizado #pi: ax + by + cz = d#, o vetor normal é: #vec n = ((a), (b), (c))#

então para #pi_1: 2x - 2y + z = 1#, o vetor normal é #vec n_1 =((2), (-2), (1))#

e para #pi_2: 2x + y - 3z = 3#, o vetor normal é #vec n_2 = ((2), (1), (-3))#

o produto cruzado #vec b = vec n_1 times vec n_2# é o seguinte determinante:

#vec b = det [(hat i, hat j, hat k),(2, -2, 1), (2, 1, -3) ]#

# = ((5), (8), (6))#

então combinamos tudo isso, conforme indicado em #square# do seguinte modo

#vec r = ((7/6), (2/3), (0)) + lambda ((5), (8), (6))#

Há um número infinito de maneiras de expressar essa linha. #vec a# pode ser qualquer ponto da linha. E o vetor de direção # vec b # pode ser qualquer múltiplo do dado aqui.

O importante, acho que é o método.