Como você determina todos os valores de c que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo [pi / 2, 3pi / 2] para # f (x) = sin (x / 2) #?

#f(x) = sin(x/2)# é contínuo em #[pi/2, 3pi/2]# e
diferenciável em #(pi/2, 3pi/2)#

Portanto, existe um #c# on #( pi/2, 3pi/2)# de tal modo que

#f'(c) = ( f(3pi/2) - f(pi/2) ) / ( 3pi/2 -pi/2)=>f'(c)=(f(3pi/2)-f(pi/2))/pi#

Sabemos que #f(x) = sin(x/2)# conseqüentemente
#f(3pi/2) = sin (3pi/4) = sqrt2/2#
#f(pi/2) = sin(pi/4) = sqrt2/2#

Percebemos que

#( f(3pi/2) - f(pi/2) ) / pi = (sqrt2/2 - sqrt2/2) / pi = 0#

Mas

#f'(x) = (1/2) cos(x/2)#

#f'(c) = (1/2) cos(c/2) = 0=>cos(c/2)=0=>c/2=pi/2=>c=pi#