Por que #lna - lnb = ln (a / b) #?

Não importa qual base usamos, fornecendo a mesma base para todos os logaritmos, aqui estamos usando bease #e#.

Vamos definir #A,B.C# da seguinte maneira =:

# A = ln a iff a = e^A #,

# B = ln b iff b = e^B #

# C = ln (a/b) iff a/b = e^C #

Desde a última definição, temos:

# a/b = e^C => e^C = (e^A)/(e^B) #

E usando a lei dos índices:

# e^C = (e^A) (e^-B) = e^(A-B) #

E como o exponencial é um #1:1# função contínua monotônica, temos:

# C = A-B #

E entao:

# ln (a/b) = ln a - ln b # QED