Como você pode modelar a deterioração da meia-vida?

A equação seria:

$[A] = \frac{1}{2_{1/2}^{t / t_{1/2}}} {[A]}_{0}$ $[A] = 1/(2^(t"/"t_"1/2"))[A]_0$

Leia para saber o que isso significa.

Apenas se concentre no princípio principal:

The upcoming concentration of reactant $A$ $A$ after half-life time $t_{1/2}$ $t_"1/2"$ becomes half of the current concentration.

Então, se definirmos o atual concentração como ${[A]}_{n}$ $[A]_n$ e a os próximos concentração como ${[A]}_{n + 1}$ $[A]_(n+1)$ , então...

${[A]}_{n + 1} = \frac{1}{2} {[A]}_{n}$ $[A]_(n+1) = 1/2[A]_n$ $(1)$ $" "mathbf((1))$

Chamamos o (1) o equação de decaimento de meia-vida recursiva para um ocorrência de meia-vida, ou seja, quando $t_{1/2}$ $t_"1/2"$ passou apenas uma vez. Porém, isso não é muito útil, porque as meias-vidas podem variar de muito lentas (milhares de anos) a muito rápidas (milissegundos!).

Vamos passar por outra meia-vida, até passarmos $n$ $mathbf(n)$ meias-vidas. Para isso, reescrevemos ${[A]}_{n}$ $[A]_n$ as ${[A]}_{0}$ $[A]_0$ (O inicial concentração) e ${[A]}_{n + 1}$ $[A]_(n+1)$ as $[A]$ $[A]$ (O os próximos concentração).

Note como ${[A]}_{0}$ $[A]_0$ vontade sempre seja o mesmo, mas $[A]$ $[A]$ continuará mudando ao longo do tempo.

$[A] = (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) \dots (\frac{1}{2}) {[A]}_{0}$ $[A] = (1/2)(1/2)cdots(1/2)[A]_0$

$= {(\frac{1}{2})}^{n} {[A]}_{0}$ $= (1/2)^n[A]_0$

$\Rightarrow [A] = \frac{1}{2^{n}} {[A]}_{0}$ $=> [A] = 1/(2^n)[A]_0$ $(2)$ $" "mathbf((2))$

Agora temos (2), a equação para qualquer número de decaimentos de meia-vida ... uma vez que sabemos quantas meias-vidas se passaram.

Contudo, (2) pode ser mais conveniente, pois sabemos que cada meia-vida leva $t_{1/2}$ $t_"1/2"$ hora de ocorrer. Quando $n$ $n$ meias-vidas ocorrem, cada uma tomando $t_{1/2}$ $t_"1/2"$ para ocorrer, deve ocorrer durante um período de tempo definido $t$ $t$ . Tão:

$n t_{1/2} = t$ $nt_"1/2" = t$ $(3)$ $" "mathbf((3))$

Que significa $n = \frac{t}{t_{1/2}}$ $n = t/t_"1/2"$ , o que significa que podemos dividir o tempo total gasto durante o processo pelo tempo que leva para perder metade $A$ $A$ novamente para obter o número de meias-vidas que passaram.

Assim sendo:

$[A] = \frac{1}{2_{1/2}^{t / t_{1/2}}} {[A]}_{0}$ $color(blue)([A] = 1/(2^(t"/"t_"1/2"))[A]_0)$ $(4)$ $" "mathbf((4))$

Então podemos usar (4) para determinar meias-vidas de qualquer elemento radioativo típico para o qual sabemos $t$ $t$ , o tempo decorrido durante a deterioração da meia-vida E:

${[A]}_{0}$ $[A]_0$ , a concentração inicial e $[A]$ $[A]$ , a próxima concentração, OR
$\frac{[A]}{{[A]}_{0}}$ $([A])/[A]_0$ , a fração do elemento restante após o tempo $t$ $t$ passa.