Qual é a derivada de # -sin (x) #?

A resposta anterior contém erros. Aqui está a derivação correta.

Primeiro de tudo, o sinal de menos na frente de uma função #f(x)=-sin(x)#, ao usar uma derivada, alteraria o sinal de uma derivada de uma função #f(x)=sin(x)# para um oposto. Esse é um teorema fácil na teoria dos limites: o limite de uma constante multiplicado por uma variável é igual a essa constante multiplicada pelo limite de uma variável. Então, vamos encontrar a derivada de #f(x)=sin(x)# e depois multiplique por #-1#.

Temos que começar da seguinte declaração sobre o limite da função trigonométrica #f(x)=sin(x)# como seu argumento tende a zero:
#lim_(h->0)sin(h)/h=1#

A prova disso é puramente geométrica e baseia-se na definição de uma função #sin(x)#. Existem muitos recursos da Web que contêm uma prova dessa declaração, como The Math Page.

Usando isso, podemos calcular uma derivada de #f(x)=sin(x)#:
#f'(x)=lim_(h->0) (sin(x+h)-sin(x))/h#
Usando representação de uma diferença de #sin# funciona como um produto de #sin# e #cos# (Vejo Unizor , Trigonometria - Trig soma de ângulos - Problemas 4)
#f'(x)=lim_(h->0) (2*sin(h/2)cos(x+h/2))/h#
#f'(x)=lim_(h->0) sin(h/2)/(h/2)*lim_(h->0)cos(x+h/2)#
#f'(x)=1*cos(x)=cos(x)#

Portanto, derivada de #f(x)=-sin(x)# is #f'(x)=-cos(x)#.