Por que tan é igual a sin / cos?

A melhor resposta para esta pergunta depende das definições que você está usando para as funções trigonométricas:

Círculo unitário:

#t# corresponde ao ponto #(x,y)# no círculo #x^2+y^2 =1#
Definir:
#sint = y#,, #cos t = x#,, #tant = y/x#

O resultado é imediato.

ponto #(x,y)# no lado do terminal de #t# e #r=sqrt(x^2+y^2)#

#sint = y/r#,, #cos t = x/r#,, #tant = y/x#

#sint/cost = (y/r)/(x/r)= (y/r)*(r/x) = y/x = tan t#

Triângulo direito

#sin theta = "opposite"/"hypotenuse" = "opp"/"hyp"#

#cos theta = "adjacent"/"hypotenuse" = "adj"/"hyp"#

#sin theta = "opposite"/"adjacent" = "opp"/"adj"#

O resultado segue de:

#sin theta / cos theta = ("opp"/"hyp")/("adj"/"hyp") = ("opp"/"hyp")*("hyp"/"adj") = "opp"/"adj" = tan theta #