Como você encontra a derivada de # 1 / (1- x) #?

Eu queria fornecer outro meio alternativo de pensar sobre isso:

De alguma forma, devemos encontrar, #1/(1-x) # de alguma outra maneira:

Podemos considerar a expansão binomial:

#(1+x)^n = 1 + nx + (n(n-1)x^2)/(2!) + (n(n-1)(n-2)x^3)/(3!) + ...#

para #|x|<1#

#=> #

# (1-x)^n = 1 -nx + (n(n-1)x^2)/(2!) - (n(n-1)(n-2)x^3)/(3!) + ...#

Deixando #n=-1# :

#=> (1-x)^(-1) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... #

para #|x| < 1 #

Portanto, nosso problema se torna:

#d/(dx) (1 + x + x^2 + x^3 + ...) -= d/(dx) (sum_(r=0) ^oo x ^r )#

#=>#

#1+ 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...# = #sum_(r=0)^oo rx^(r-1) #

#(dy)/(dx)= sum_(r=0)^oo rx^(r-1) , |x|<1 #

Também podemos verificar isso através da entrada #1/(1-x)^2 # para a expansão binomial!