Como você encontra o vetor normal da unidade principal na curva no valor especificado do parâmetro #r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k # onde t é pi?

Este é realmente um problema de cálculo, e o vetor normal da unidade principal não é o mesmo que um vetor normal para o plano em que a curva se encontra.

O vetor de velocidade é #vec{v}(t)=vec{r}'(t)=-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}# e seu comprimento (a velocidade) é #||vec{v}(t)||=sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}#.

Isso significa que o vetor tangente unitário é #vec{T}(t)=frac{vec{v}(t)}{||vec{v}(t)||}=frac{-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}}{sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}}#. No #t=pi#, isso se torna #vec{T}(pi)=-hat{j}#.

A curva está no plano #z=1#, então o vetor normal da unidade principal #vec{N}(pi)# estará no mesmo plano (e no mesmo plano que #vec{T}(pi)#), será perpendicular a #vec{N}(pi)#, e apontará diretamente para o centro da curvatura, que neste caso é o centro #(0,0,1)# da elipse que a curva está traçando no plano #z=1#. Observe também que #r(pi)=-hat{i}+hat{k}# (a curva está no ponto #(-1,0,1)# at #t=pi#).

Portanto, o vetor normal da unidade principal será #vec{N}(pi)=hat{i}#.

Aqui está uma foto da situação. O positivo #x#-axis está vindo em sua direção e o positivo #y#O eixo está indo para a direita. O ponto #(-1,0,1)# é mostrado junto com o vetor normal da unidade #vec{N}(pi)=hat{i}#. Novamente, não é normal para o avião. É normal para a curva e fica no mesmo plano que o "círculo osculante" ou "círculo de melhor ajuste" no ponto especificado (não mostrado), que fica no plano #z=1#.