Como você encontra a integral de ${sin}^{3} [x] d x$ $sin ^ 3 [x] dx$ ?

$\int {sin}^{3} (x) d x = \frac{1}{3} {cos}^{3} (x) - cos (x) + C$ $intsin^3(x)dx = 1/3cos^3(x)-cos(x)+C$

$\int {sin}^{3} (x) d x = \int sin (x) (1 - {cos}^{2} (x)) d x$ $intsin^3(x)dx = intsin(x)(1-cos^2(x))dx$

$= \int sin (x) d x - \int sin (x) {cos}^{2} (x) d x$ $=intsin(x)dx - intsin(x)cos^2(x)dx$

Para a primeira integral:

$\int sin (x) d x = - cos (x) + C$ $intsin(x)dx = -cos(x)+C$

Para a segunda integral, usando substituição:

Deixei $u = cos (x) \Rightarrow d u = - sin (x) d x$ $u = cos(x) => du = -sin(x)dx$
Então

$- \int sin (x) {cos}^{2} (x) d x = \int u^{2} d u$ $-intsin(x)cos^2(x)dx = intu^2du$

$= \frac{u^{3}}{3} + C$ $=u^3/3+C$

$= \frac{1}{3} {cos}^{3} (x) + C$ $=1/3cos^3(x)+C$

Juntando tudo, obtemos nosso resultado final:

$\int {sin}^{3} (x) d x = \int sin (x) d x - \int sin (x) {cos}^{2} (x) d x$ $intsin^3(x)dx = intsin(x)dx-intsin(x)cos^2(x)dx$

$= - cos (x) + \frac{1}{3} {cos}^{3} (x) + C$ $=-cos(x)+1/3cos^3(x)+C$

Como você encontra a integral de sin3[x]dx sin ^ 3 [x] dx ?