Qual é a medida de cada ângulo interior de um pentágono regular?

Considere este pentágono regular #ABCDE#.

Vamos juntar vértices #AC# e #EC# como mostrado para formar três triângulos como mostrado. Eu usei letras #a, b, c, d, e, f, g, h, i# representar ângulos internos de triângulos por uma questão de simplicidade.

Uma vez que o soma dos ângulos interiores de um triângulo é #180^o#,

In #triangleABC, b+c+d = 180^o#

In #triangleACE, a+e+i = 180^o#

In #triangleECD, h+f+g = 180^o#

A soma dos ângulos interiores do pentágono é

#a+b+c+d+e+f+g+h+i#
#=(b+c+d)+(a+e+i)+(h+f+g)#
#=180^o + 180^o +1 80^o# [usando os três resultados acima]
#=540^o#

#i.e. angleA+angleB+angleC+angleD+angleE=540^o#
Por ser um octógono regular, #angleA=angleB=angleC=angleD=angleE#

#implies angleA+angleA+angleA+angleA+angleA = 540^o#
#implies 5*angleA = 540^o#
#implies angleA=540/5=108^o = angleB=angleC=angleD=angleE#

Portanto, o ângulo interno de um pentágono regular é #108^o#.