Qual é a derivada de # (cosx) ^ x #?

Nós usamos uma técnica chamada diferenciação logarítmica para diferenciar esse tipo de função.

Em suma, deixamos #y = (cos(x))^x#,

Em seguida,

#ln(y) = ln((cos(x))^x)#

#ln(y) = xln(cos(x))#, pela lei dos logaritmos,

E agora nos diferenciamos.

#d/dx(ln(y)) = d/dx(xln(cos(x)))#

#dy/dx xx d/dy(ln(y)) = ln(cos(x)) xx d/dx(x) + x d/dx(ln(cos(x)))#

#dy/dx xx 1/y = ln(cos(x)) - (xsin(x))/cos(x)#

#dy/dx = y(ln(cos(x)) - (xsin(x))/cos(x))#

#dy/dx = (cos(x))^x(ln(cos(x)) - (xsin(x))/cos(x))#

Como alternativa, você pode expressar #(cos(x))^x# as #e^(xln(cos(x)))#, mas é basicamente a mesma coisa.