Como você encontra os valores exatos de cos (5pi / 12) usando a fórmula de meio ângulo?

Pela fórmula do meio ângulo:
#color(white)("XXXX")##cos(theta/2) = +-sqrt((1+cos(theta))/2)#

If #theta/2 = (5pi)/12#
#color(white)("XXXX")#então #theta = (5pi)/6#

Observe que #(5pi)/6# é um ângulo padrão no quadrante 2 com um ângulo de referência de #pi/6#

so #cos((5pi)/6) = -cos(pi/6) = -sqrt(3)/2#

portanto
#color(white)("XXXX")cos((5pi)/12) = +- sqrt((1-sqrt(3)/2)/2)#

#color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt(((2-sqrt(3))/2)/2)#

#color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt((2-sqrt(3))/4)#

#color(white)("XXXXXXXXXXX")=+-sqrt(2-sqrt(3))/2#

Desde #(5pi)/12 < pi/2#
#color(white)("XXXX")##(5pi)/12# está no quadrante 1
#color(white)("XXXX")##rarr cos((5pi)/12)# é positivo
#color(white)("XXXX")##color(white)("XXXX")##color(white)("XXXX")#(a solução negativa é estranha)