Como você encontra a área de # r = 1 + cos (teta) #?

Se o polo r = 0 não estiver fora da região, a área é dada por

#(1/2) int r^2 d theta#, com limites apropriados.

A curva dada é uma curva fechada chamada cardióide.

Passa pelo polo r = 0 e é simétrico em relação à inicial

linha #theta = 0#.

As #r = f(cos theta)#, r é periódico com período #2pi#.

E assim a área delimitada pelo cardióide é

#(1/2) int r^2 d theta#, Ao longo #theta in [0, 2pi]#.

#(1/2)(2) int (1+cos theta)^2 d theta, theta in [0, pi]#, usando simetria sobre #theta=0#

#=int (1+cos theta)^2 d theta, theta in [0, pi]#

#=int (1+2 cos theta + cos^2theta) d theta, theta in [0, pi]#

#=int (1+2 cos theta + (1+cos 2theta)/2) d theta, theta in [0, pi]#

#=[3/2theta+2sin theta]+(1/2)(1/2)sin 2theta]#,

entre limites #0 and pi#

#=(3pi)/2+0+0#