As margens superior e inferior de um pôster são 4 cm e as margens laterais são 6 cm. Se a área do material impresso no pôster for fixada em centímetros quadrados 384, como você encontra as dimensões do pôster com a menor área?

Seja a a largura do pôster eb a altura.
Seja A a área do pôster a ser minimizada.
(Nesta explicação, omitirei todos os "cm").
#A=384+2(color(red)(a*4))+2(color(blue)(b*6))-4(color(orange)(6*4))=384+8a+12b-96=288+8a+12b#
Como a soma das partes ilustradas:

#A=a*b#
Então, vamos entrar em função de b:
#288+8a+12b=ab#
#288+12b=ab-8a#
#288+12b=a(b-8)#
#a=(288+12b)/(b-8)#

Agora, #A(b)# será a função em uma única variável (b) que minimizaremos:
#A(b)=a*b=((288+12b)/(b-8))*b=(288b+12b^2)/(b-8).#

Eu tenho que encontrar a primeira derivada da função para minimizá-lo:
#A'(b)=12(b^2-16b-192)/(b-8)^2#
Os pontos mínimos satisfazem a condição #A'(b)=0#, então:
#b^2-16b-192=0#
#b=-8 or b=24#
Mas, por razões óbvias (b é a altura de um pôster), b deve ser positivo; portanto, apenas b = 24 é a solução correta.

Agora temos que encontrar um:
#a=(288+12b)/(b-8)=(288+12*24)/(24-8)=36#
Então, a solução para o problema é #(a,b)=(24,36)#.