As margens superior e inferior de um pôster são 4 cm e as margens laterais são 6 cm. Se a área do material impresso no pôster for fixada em centímetros quadrados 384, como você encontra as dimensões do pôster com a menor área?

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Rascunho

Explicação:

Seja a a largura do pôster eb a altura.
Seja A a área do pôster a ser minimizada.
(Nesta explicação, omitirei todos os "cm").
$A = 384 + 2 (a \cdot 4) + 2 (b \cdot 6) - 4 (6 \cdot 4) = 384 + 8 a + 12 b - 96 = 288 + 8 a + 12 b$ $A=384+2(color(red)(a*4))+2(color(blue)(b*6))-4(color(orange)(6*4))=384+8a+12b-96=288+8a+12b$
Como a soma das partes ilustradas:
insira a fonte da imagem aqui

$A = a \cdot b$ $A=a*b$
Então, vamos entrar em função de b:
$288 + 8 a + 12 b = a b$ $288+8a+12b=ab$
$288 + 12 b = a b - 8 a$ $288+12b=ab-8a$
$288 + 12 b = a (b - 8)$ $288+12b=a(b-8)$
$a = \frac{288 + 12 b}{b - 8}$ $a=(288+12b)/(b-8)$

Agora, $A (b)$ $A(b)$ será a função em uma única variável (b) que minimizaremos:
$A (b) = a \cdot b = (\frac{288 + 12 b}{b - 8}) \cdot b = \frac{288 b + 12 b^{2}}{b - 8} .$ $A(b)=a*b=((288+12b)/(b-8))*b=(288b+12b^2)/(b-8).$

Eu tenho que encontrar a primeira derivada da função para minimizá-lo:
$A'(b)=12(b^2-16b-192)/(b-8)^2$
Os pontos mínimos satisfazem a condição $A'(b)=0$ , então:
$b^2-16b-192=0$
$b=-8 or b=24$
Mas, por razões óbvias (b é a altura de um pôster), b deve ser positivo; portanto, apenas b = 24 é a solução correta.

Agora temos que encontrar um:
$a=(288+12b)/(b-8)=(288+12*24)/(24-8)=36$
Então, a solução para o problema é $(a,b)=(24,36)$ .