As margens superior e inferior de um pôster são 4 cm e as margens laterais são 6 cm. Se a área do material impresso no pôster for fixada em centímetros quadrados 384, como você encontra as dimensões do pôster com a menor área?
Responda:
Rascunho
Explicação:
Seja a a largura do pôster eb a altura.
Seja A a área do pôster a ser minimizada.
(Nesta explicação, omitirei todos os "cm").
A=384+2(color(red)(a*4))+2(color(blue)(b*6))-4(color(orange)(6*4))=384+8a+12b-96=288+8a+12bA=384+2(a⋅4)+2(b⋅6)−4(6⋅4)=384+8a+12b−96=288+8a+12b
Como a soma das partes ilustradas:
A=a*bA=a⋅b
Então, vamos entrar em função de b:
288+8a+12b=ab288+8a+12b=ab
288+12b=ab-8a288+12b=ab−8a
288+12b=a(b-8)288+12b=a(b−8)
a=(288+12b)/(b-8)a=288+12bb−8
Agora, A(b)A(b) será a função em uma única variável (b) que minimizaremos:
A(b)=a*b=((288+12b)/(b-8))*b=(288b+12b^2)/(b-8).A(b)=a⋅b=(288+12bb−8)⋅b=288b+12b2b−8.
Eu tenho que encontrar a primeira derivada da função para minimizá-lo:
A'(b)=12(b^2-16b-192)/(b-8)^2
Os pontos mínimos satisfazem a condição A'(b)=0, então:
b^2-16b-192=0
b=-8 or b=24
Mas, por razões óbvias (b é a altura de um pôster), b deve ser positivo; portanto, apenas b = 24 é a solução correta.
Agora temos que encontrar um:
a=(288+12b)/(b-8)=(288+12*24)/(24-8)=36
Então, a solução para o problema é (a,b)=(24,36).