As operações elementares da linha alteram os autovalores?

Sim. Para uma dada matriz #hatA#, operações de linha elementares NÃO retenha os valores próprios de #hatA#.

Por exemplo, considere a seguinte matriz:

#color(green)(hatA = [(2,2),(0,1)])#

O autovalores são determinados resolvendo

#mathbf(hatAvecv = lambdavecv),#

de tal modo que #|lambdaI - hatA| = 0#. Então, os autovetores #vecv# formar uma base adquirida com a solução #[lambdaI - hatA]vecv = vec0# para #vecv#.

#|lambdaI - hatA| = 0#

#= |[(lambda,0),(0,lambda)] - [(2,2),(0,1)]|#

#= |(lambda - 2, -2),(0,lambda - 1)|#

#= (lambda-2)(lambda-1) - 0#

A partir disso, adquirimos o equação característica:

#=> color(green)((lambda - 2)(lambda - 1) = 0),#

E obtemos os autovalores

# => color(blue)(lambda = 1, 2),#

de quem autovetores estamos...

#mathbf(lambda = 1)#:

#[(lambda - 2, - 2),(0,lambda - 1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#= [(-1,-2),(0,0)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#-> v_1 = -2v_2 -> color(blue)(vecv = v_1[(1),(-2)])#

#mathbf(lambda = 2)#:

#[(lambda - 2, - 2),(0,lambda - 1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#= [(0,-2),(0,1)][(v_1),(v_2)] = [(0),(0)]#

#-> v_2 = 0, v_1 = "anything"#,:. deixei #v_1 = 9000#. Então, #color(blue)(vecv = v_1[(9000),(0)])#

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Claro, se você tivesse reduzido a linha #hatA#, você teria obtido:

#hatA = [(2,2),(0,1)]#

#stackrel(1/2R_1; -R_2+R_1" ")(->)[(1,0),(0,1)],#

where the notation #cR_i + R_j# implies that #c# times row #i# is added to row #j# and the result is stored into row #j#.

Isso daria a você a equação característica #|lambdaI - hatA| = (lambda - 1)^2 = 0#e, assim, fornecer um valor próprio #lambda = 1# de multiplicidade #2#.

No entanto, sem redução de linha, obtivemos dois valores próprios distintos: #lambda = 1,2#. Assim, os autovalores foram não retido como resultado de operações de linha elementares.