Qual é a série Taylor de #f (x) = arctan (x) #?

Qual é a série Taylor de #f (x) = arctan (x) #? #f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}# Vamos ver alguns detalhes. #f(x)=arctanx# #f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}# Lembre-se de que a série de potências geométricas #1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n# substituindo #x# by #-x^2#, #Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}# Assim, #f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}# Ao integrar, #f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx# colocando o sinal integral dentro da soma, #=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx# pela regra do … Ler mais