Carregar em uma carcaça esférica condutora?

Desde o campo elétrico deve necessariamente desaparecer dentro do volume da esfera condutora, as cargas devem derivar de modo a cancelar o campo elétrico devido à carga #q# no centro.

Superfície interior: Considere uma esfera imaginária envolvendo a superfície interna do raio #a#, deitado fora desta superfície e dentro do volume da esfera condutora. De Lei de Gauss o fluxo elétrico através desta superfície está relacionado à carga total cercado por esta superfície,

Pela lei de Gauss, #Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0#
onde #q# é a carga no centro e #q_a# é a carga total induzida na superfície interna.

Como o campo elétrico desaparece em todo lugar dentro do volume de um bom condutor, seu valor é zero em todo lugar na superfície gaussiana que consideramos. Portanto, a integral da superfície é zero.

#Phi_E = oint vec E.vec(ds) = (q+q_a)/epsilon_0 = 0; qquad rightarrow q_a = -q# ...... (1)
Essa é a carga total induzida na superfície interna. Como o campo elétrico da carga central é esfericamente simétrico, essa carga induzida também deve ser distribuída uniformemente.

Portanto, a densidade de carga na esfera interna é: #sigma_a = q_a/(4pia^2) = -q/(4pia^2)#

Superfície exterior: A carga líquida na superfície externa possui dois componentes - carga livre #q_b^{"free"} = Q# e carga induzida #q_b^{"ind"}#

#q_b = q_b^{"ind"} + q_b^{"free"} = q_b^{"ind"}+Q#

Como as cargas induzidas são resultado da polarização devido ao campo elétrico da carga central, a carga líquida induzida no superfícies internas e externas do bom condutor deve ser zero:

#q_a + q_b^{"ind"} = 0; qquad q_b^{"ind"} = -q_a#

Escrevendo #q_a# em termos de #q# usando (1), #quad q_b^{"ind"} = -q_a = q#

Assim, a carga total na superfície externa é: #q_b = Q + q#

Portanto, a densidade de carga na esfera externa é: #sigma_b = q_b/(4pib^2) = (Q+q)/(4pib^2)#