Como é o gráfico da sétima raiz da unidade em um círculo unitário como o da foto em anexo?
Responda:
Tem Sete sétima raízes da unidade, #e^{ {2pi k i }/7}#, tudo no círculo unitário, #r=1# acima. O primeiro é em #theta={2pi}/7 = 360^circ/7 = 51 3/7 ^circ #, e há outros em #{4pi}/7, {6pi}/7, {8pi}/7, {10 pi}/7, {12 pi}/7 # e claro em #0# radianos, ou seja, a própria unidade.
Explicação:
Identidade de Euler para um poder inteiro igual de #2k# nos digam
#(e^{i pi})^{2 k} = (-1)^{2k} #
#e^{2pi k i} = 1#
Agora vemos
#1^(1/7) = (e^{2pi k i})^{1/7} = e^{ {2pi k i }/7} #
São sete sétimas raízes distintas, dadas por quaisquer sete consecutivas #k#s. (Depois disso, eles repetem.)