Como encontrar o momento de inércia de um cilindro sólido em torno do eixo transversal (perpendicular) passando por seu centro?

Figura 1.

Vamos considerar um cilindro de comprimento #L#Massa #M#e raio #R# colocado para que #z# eixo está ao longo de seu eixo central como na figura.
Sabemos que sua densidade #rho="Mass"/"Volume"=M/V#.

Figura 2.

Vamos considerar que o cilindro é composto de discos infinitesimalmente finos, cada um com espessura #dz#. Se #dm# é a massa de um desses discos, então
#dm=rho times "Volume of disk"#

or #dm=M/V times (pi R^2.dz)#,
desde #V="Areal of circular face"xx"length"=pi R^2L#, nós obtemos
#dm=M/(pi R^2L) times (pi R^2.dz)#

or #dm=M/Ldz# ...... (1)
1 etapa.

Sabemos que momento de inércia de um disco circular de massa #m# e de raio #R# sobre o seu eixo central é o mesmo que para um cilindro de massa #M# e raio #R# e é dado pela equação
#I_z=1/2mR^2#. No nosso caso

#dI_z=1/2dmR^2#...... (2)
2 etapa.

Observe na figura 2 que este momento de inércia foi calculado sobre #z# eixo. No problema, somos obrigados a encontrar um momento de inércia sobre o eixo transversal (perpendicular) passando por seu centro. Sabendo que o eixo de rotação desejado é transversal, precisamos aplicar o teorema do eixo perpendicular que afirma:

O momento de inércia em torno de um eixo perpendicular ao plano contido pelos dois eixos restantes é a soma dos momentos de inércia desses dois eixos perpendiculares, através do mesmo ponto no plano do objeto.
Segue que
#dI_z=dI_x+dI_y# ..... (3)
Também por simetria, vemos aquele momento de inércia sobre #x# eixo deve ser o mesmo que momento de inércia sobre #y# eixo.
#:. dI_x=dI_y# ...... (4)
Combinando as equações (3) e (4) obtemos
#dI_x=(dI_z)/2#, Substituindo #I_z# de (2), obtemos
#dI_x=1/2xx1/2dmR^2#

or #dI_x=1/4dmR^2#

Deixe o disco infinitesimal estar localizado à distância #z# da origem que coincide com o centro de massa.

Agora usamos o teorema do eixo paralelo sobre o #x# eixo que afirma:

O momento de inércia sobre qualquer eixo paralelo a esse eixo através do centro de massa é dado por

#I_"Parallel axis"=I_"Center of Mass"+"Mass"times"d^2#
onde #d# é a distância do eixo paralelo do centro de massa.
#dI_x=1/4dmR^2+dmz^2# ...... (5)
3 etapa.
Insira o valor de #dm# calculado em (1) na equação do momento de inércia (5) para expressá-lo em termos de #z# depois integre ao longo do comprimento do cilindro a partir do valor de #z=-L/2# para #z=+L/2#
#I_x=int_(-L/2)^(+L/2)dI_x=int_(-L/2)^(+L/2)1/4M/LdzR^2+int_(-L/2)^(+L/2)z^2 M/Ldz#
#I_x=1/4M/LR^2z+M/L z^3/3]_(-L/2)^(+L/2)#,
ignorando a constante de integração por ser integral integral.

#I_x=1/4M/LR^2[L/2-(-L/2)]+M/(3L) [(L/2)^3-(-L/2)^3]#

or #I_x=1/4M/LR^2L+M/(3L) (2L^3)/2^3 #

or #I_x=1/4MR^2+1/12M L^2 #