Prove que o momento de inércia de um cone é # I = 3 / 10mr ^ 2 # em relação ao seu eixo continuando através do centro de massa? h = altura; raio da base = r

Responda:

Veja a prova abaixo

Explicação:

insira a fonte da imagem aqui

A massa do disco elementar é #dm=rho*pir^2dz#

A densidade do cone é

#rho=M/V=M/(1/3piR^2h)#

Portanto,

#dm=M/(1/3piR^2h)pir^2dz#

#dm=(3M)/(R^2h)r^2dz#

Mas

#R/r=h/z#

#r=Rz/h#

#dm=3M/(R^2h)*(R^2)/h^2*z^2dz=3M/h^3
z^2dz#

O momento de inércia do disco elementar sobre o #z-#eixo é

#dI=1/2dmr^2#

#dI=1/2*3M/h^3z^2*z^2R^2/h^2dz#

#dI=3/2*MR^2/h^5z^4dz#

Integrando ambos os lados,

#I=3/2*MR^2/h^5int_0^hz^4dz#

#I=3/2*MR^2/h^5[z^5/5]_0^h#

#I=3/2*MR^2/h^5*h^5/5#

#=3/10MR^2#

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