Como você avalia # int_0 ^ (pi / 2) | 8 sin (x) - 8cos (2x) | dx #?

#int_0^(pi/2) |8 sin(x) - 8cos(2x)|dx = 8int_0^(pi/2) |sin(x) - cos(2x)|dx#

Então o problema é: avaliar #int_0^(pi/2) |sin(x) - cos(2x)|dx#.

Sabemos que

#|sin(x) - cos(2x)| = {(sin(x) - cos(2x),if, (sin(x) - cos(2x)) <= 0),(-(sin(x) - cos(2x)),if,(sin(x) - cos(2x)) < 0) :}#

Investigue o sinal de ##(sin(x) - cos(2x))## on ##[0,pi/2]##

#sin(x) - cos(2x) = 2sin^2x+sinx-1 = (2sinx-1)(sinx+1) = 0#

at #sinx = 1/2# so #x = pi/6# (Estamos interessados ​​apenas em valores de #x# entre #0# e #pi/2#)

e em #sinx = -1# o que nunca acontece #[0,pi/2]#.

Uma análise de sinais revela que #sin(x) - cos(2x)# é negativo em #[0,pi/6]# e positivo em #[pi/6, pi/2]#.

Dividir a integral

#int_0^(pi/2) |sin(x) - cos(2x)|dx = int_0^(pi/6) -(sinx-cos2x) dx +int_(pi/6)^(pi/2) (sinx - cos2x) dx#

# = (3sqrt3-4)/4 + (3sqrt3)/4 = (6sqrt3-4)/4#

Lembre-se de multiplicar por ##8##

#int_0^(pi/2) |8 sin(x) - 8cos(2x)|dx = 8int_0^(pi/2) |sin(x) - cos(2x)|dx#

# = 8((6sqrt3-4)/4 ) = 12sqrt3 -8#