Como você avalia o #int sec integral ^ 3x / tanx #?

Deixei #I=intsec^3x/tanxdx=int(1/cos^3x)(cosx/sinx)dx#

#=int1/(cos^2xsinx)dx=intsinx/(cos^2xsin^2x)dx#

#:. I=-int{(-sinx)/{cos^2x(1-cos^2x)}dx#

Substituindo #cosx=t," so that, "-sinxdx=dt#, Nós temos,

#I=int1/{t^2(t^2-1)}dt=int{t^2-(t^2-1)}/{t^2(t^2-1)}dt#

#=int[t^2/{t^2(t^2-1)}-(t^2-1)/{t^2(t^2-1)}]dt#

#=int[1/(t^2-1)-1/t^2]dt#

#1/2ln|(t-1)/(t+1)|+1/t#.

Desde, #t=cosx#, temos,

#I=1/2ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+secx+C#.

Desfrute de matemática.!

NB: -#I# pode ser ainda mais simplificado #ln|tan(x/2)|+secx+C#.